Kurt Gödel publica en 1931, en Viena, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines"), donde demuestra sus dos teoremas de incompletitud: ningún sistema formal consistente lo suficientemente potente para describir la aritmética puede ser a la vez completo, y ningún sistema de este tipo puede demostrar su propia consistencia desde dentro de sí mismo. El resultado, presentado por primera vez de forma incidental en una conferencia en Königsberg en septiembre de 1930, destruye de raíz el programa de Hilbert, que buscaba fundamentar toda la matemática sobre un conjunto de axiomas a la vez consistente y completo. John von Neumann, presente en aquella conferencia, llegó por su cuenta al corolario del segundo teorema casi inmediatamente después de escuchar a Gödel, aunque este ya lo tenía de forma independiente. Los teoremas de Gödel sentarían las bases conceptuales sobre las que, más de tres décadas después, Paul Cohen demostraría la independencia de la hipótesis del continuo respecto de los axiomas de la teoría de conjuntos.