En octubre de 1872, con apenas 23 años recién nombrado catedrático en la Universidad de Erlangen, Felix Klein presenta en una conferencia inaugural un programa de investigación que introduciría un orden conceptual radicalmente nuevo en un campo que hasta entonces se encontraba fragmentado en geometrías aparentemente inconexas: la euclidiana, la proyectiva, la afín, y las geometrías no euclidianas hiperbólica y elíptica descubiertas décadas antes por Lobachevsky, Bolyai y Riemann. La idea central de Klein, conocida desde entonces como el Programa de Erlangen, es deslumbrantemente simple en su formulación pero de un alcance unificador inmenso: cada geometría puede caracterizarse completamente, no por sus axiomas particulares, sino por el grupo de transformaciones bajo las cuales sus propiedades permanecen invariantes. La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades que se conservan bajo el grupo de movimientos rígidos (rotaciones, traslaciones, reflexiones); la geometría proyectiva, bajo el grupo más amplio de transformaciones proyectivas, que no conserva distancias ni ángulos pero sí relaciones de incidencia; y así sucesivamente para cada geometría conocida, organizadas en una jerarquía clara según la inclusión de unos grupos de transformación dentro de otros. Klein desarrolla esta visión en estrecha colaboración con el matemático noruego Sophus Lie, con quien comparte el interés por vincular geometría y teoría de grupos desde finales de la década de 1860. El programa no solo aportó una clasificación elegante de la geometría conocida hasta entonces, sino que estableció un principio metodológico —entender un objeto matemático a través de su grupo de simetrías— que se convertiría en una de las ideas organizadoras más fértiles de la matemática y la física del siglo XX, desde la relatividad general hasta la física de partículas y la cristalografía, y que un siglo después inspiraría explícitamente a matemáticos como Jacques Tits en su teoría de edificios y a Mikhail Gromov en su tratamiento geométrico de los grupos infinitos.